東大 ２００５年理系 ２次試験より
さて、どうでしょう。
条件を整理すると、
３＜ａ＜９９９９ かつ ａは奇数
結論：ａ＾2-ａ は10000で割り切れる。
です。
さて、どう解きますか？？？
まず最初に考えることは、
ａ＾２－ａ＝ａ（ａ－１）なので、連続²２数の掛け算
ａは奇数なので、ａ－１は偶数
ここで、ａ＝２ｎ-１（ａは奇数なので)と置いて、処理していっても良いですが、
ここは結論から攻めるのが、より良いですね。
10000で割り切れるということは、
10000を素因数分解して、2＾4 * 5＾4 を因数にもつ。
つまり、
ａ＾２－ａ は、2＾4 * 5＾4の倍数であるということだ。
このことから、ａは最小625 （625＝5＾4、2の倍数は５の倍数よりも豊富に存在するから）だとわかる。
（625*624＝390000となり10000で割り切れる）
したがって、解答の一つは、ａ＝625
あとは、625の倍数の中で、題意に添う整数があるかどうか？です。
（ａは奇数ですから、題意に合います）
実際に試してみると、
ａ＝625*2＝1250・・・偶数なのでダメ（*2が*偶数は全てダメ）
ａ＝625*3＝1875・・・ａ＾２－ａ＝3513750、ダメ
ａ＝625*5＝3125・・・ａ＾２－ａ＝9762500、ダメ
ａ＝625*7＝4375・・・ａ＾２－ａ＝19136250、ダメ
・・・・・
・・・・
・・・
ａ＝625*15＝9375・・・ａ＾２－ａ＝87881250、ダメ
ａ＝625*17＝10625・・・ａの範囲を越えている、ダメ
ａ＜9999 の範囲で、試すと、どれもダメ。
よって答えは、
ａ＝625 （の1つのみ）
つまり、小学生の知識で解けるわけです。
東大の問題って、こういうのがあるから、面白いですね・・・。
