中学生にも解ける東大入試問題！ その２

平成１５年度前期 東京大学 理系 ・・・ 三角関数（数学Ⅱ） やや難

『円周率 π は、３．０５ より大きいことを証明せよ。』

この問題は、多くの受験生の意表を突いた問題であったと言われている。

定型的な問題ではなく、考える問題としての良問だと僕は思っている。

もちろんどんな解答方法でもちゃんと証明できていればＯＫなんだが、高校で習う、三角関数や無限級数を使わなくても、中学３年レベルでも解くことが出来るのです。

多少計算力がある中３生なら、十分解くことが出来るのである。

では、それを示してみましょう。

描きかけです・・・

すでにこれで解った人は、かなり優秀ですよ・・・

さて再開です。

半径１の円に内接する正１２角形を描きます。
（なぜ正１２角形かというと、正６角形だとπ＞3は証明できるけど、題意を満たさないので角を増やしました。）
内接正１２角形の各頂点から円の中心に線を引き、１２個の三角形を描きます。
中心を点Ｏとし、ひとつの半径方向に点Ａ、点Ｂを取ります。
ＡからＯＢにおろした垂線の交点をＣとします。

この図形で、円の周囲の長さと、正１２角形の周の長さを比較します。

使用するのは三平方の定理のみです。
ｓｉｎもｃｏｓも出てきません。

正１２角形の１辺（ＡＢ）を計算します。
三角形ＯＡＣを考えます。
ＯＡ＝ＯＢ＝１、角ＡＯＢ＝３０度（360度/12角形だから）、から、
ＯＡ：ＯＣ：ＡＣ＝2：1：√3を使うと、ＡＣ＝１／２、ＯＣ＝√３／２

よってＢＣ＝１－ＯＣ＝１－√３／２

三角形ＡＢＣにおいて、ＡＢ＾2＝ＡＣ＾2＋ＣＢ＾2　（三平方の定理）

ＡＢ＾2＝（１／２）＾2＋（１－√３／２）＾2＝２－√３となる。
よって、ＡＢ＝√（２－√３）

円周の長さ：Ｌ1＝2πＲ＝２π（半径１だから）
正１２角形の周の長さ：Ｌ2＝１２＊√（２－√３）、√３≒1.732とすると、
Ｌ2≒１２＊√0.268＝１２＊０．５１８＝６．２２

Ｌ1＞Ｌ2だから、２π＞６．２２
ゆえに、π＞３．１１　・・・ｑｅｄ（証明終わり）

しかし、、、こう回答した後に、正８角形でやってみると、、、

π＞3.06となった。

そうかぁ～、正８角形でも出来たんやね～～～(笑)

まあ計算量は殆ど同じだったから、確実性をとって正１２角形にしたのは、あながち間違いでもなかったということかな・・・